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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 8]!5o(z{6  
0KR~]2MW  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. (-&Pv|&{  
GQc$)N  
　　1、三角函数本质： <o^)}S5rc  
c%-Mc-  
　　三角函数的本质来源于定义 ZkfD A  
w.tP'7+C4  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Qe$.&w{Wm_  
FNHetfT'3  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 F?o.=  
cpy){T!P  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： n*FR-+K=D  
c" Y7Z{  
　　推导： xFrvxey1  
n?eI*C6  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ?3% wYHM  
Smu8UD\(P  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) c?A2 gs  
WJ/h,7/OPn  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) qKB<GJU  
WLF[F#3  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 YVAkVB+|I  
{,? P[|  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） _v!"C^S2  
lhWd<E'  
　　[1] .EtM2x51g  
Qm) 5@<2j  
　　两角和公式 ^Y]ftn!  
88QdKH@I  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 5i(kGg[B9  
bt#  ,l  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ."A%Ybm  
1P/a vloG  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ~At$6%j  
;){< )x  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ]o{ }  
slq}Z/Nh  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) a g;a4  
4o<3}+  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) : | +  
xQL}{   
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  [bT@ED"0  
oc8$E\$+  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) RS,{@ELP^b  
5^ ,[  
倍角公式 A X0|l:  
w}#RaZz  
　　Sin2A=2SinA•CosA ^<E<N :o  
mizj D!#F  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ~$XJ ]9qDz  
8WAmo}io  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） #T2`]k@  
izQox{85  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） \ F5}!j  
pXB_ ~=R  
三倍角公式 >M<'47"  
78r#hgF`  
　　 b|s{-e  
I v olo  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) vDWAP:QK0  
%rE;  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) bH|]Z!|G  
y="}a|  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) x}ZvJ- W>  
RE~o eC[4  
三倍角公式推导 RIX{y?<  
=j>fA}  
　　sin3a 9f.%U> z|  
?GVrUwM.  
　　=sin(2a+a) U}'N   
z# SUT}zG  
　　=sin2acosa+cos2asina $caJNLj  
d)C1@2n-  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina SK(~(N  
7'I'9H5C)d  
　　=3sina-4sin³a 8l#U]X[  
_w*+gJSn  
　　cos3a T ofvg?  
vwaV VDa~  
　　=cos(2a+a) MW|qN?a  
i;L13u%t  
　　=cos2acosa-sin2asina Ei;B[ Sq  
ZU2R !b*  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ;V2dpuy|yN  
? Mmn|]*  
　　=4cos³a-3cosa A"P!{U  
+t{Ob;  
　　sin3a=3sina-4sin³a S"kF`O(]-  
K |sM8+)K  
　　=4sina(3/4-sin²a) _zSVM?\=  
`BZS;t  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] G1Z h@Nf  
XPgjV)P+i  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ZQ6I.94  
|5AuS_+p  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) osl(//fI  
I 3!r#QO1  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] hW!@JFv  
:a1%L]{r  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ai}A.3  
JI O8Y@ d  
　　cos3a=4cos³a-3cosa c[~uO\e  
fna_Yatc  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 1^EY{~  
mZdjQ# IbE  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ;% <Dvy*  
B<AVl=  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) WNuCE3<x  
}0 'EGAI!  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) -S}jU{  
!:QS#9i%  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} HP%OONq(!  
%"^FMKvrM/  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 9l9U6ct  
s%<M}xl  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] [t}1QdL~  
mpS`+!ks  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] _%-$lSh~  
fx;${9JQ$  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ]hj87u  
JuVPOe|G  
　　上述两式相比可得 $AF6w{qT4-  
) b;C'?XV  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) i,ytJ+IZ  
>0)nZ Z  
半角公式 _*V=H Erw  
dl5d<ii  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); j``lQ-  
sjpV-Dxf  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. k9@zG6>Ax  
!l,A2q &  
和差化积 FBG&*@<|  
A|*2wq7  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] NZ'7j  
~`\<|Lb_@  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] a:[\Df@  
x@g"+4[%  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] :'$iNG7(  
85;6"eB/  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Wd16t\ p"  
x8d~/a4O J  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 6 '84  
U '9^P(n  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) lqb;!PS%  
o:$\)T'J{  
积化和差 |Rg[M86"#  
XK8`Y\Yx  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] '4q/feKFJ  
e{M20Z$9o  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] M 7GDoEm  
/ >mur[*  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] e##[8Q85;  
rXAynL  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] =eM(-'&]{h  
%}Xad$>`s  
诱导公式 o3(YCYJ  
7, VUWA3ai  
　　sin(-α) = -sinα Y+0{-Mu  
o0F/ ~Y#  
　　cos(-α) = cosα qV5L7V  
cu/Dl'`  
　　sin(π/2-α) = cosα D`t"whUpZ  
i[zP*#QGo  
　　cos(π/2-α) = sinα 2{Pj.6im  
[ 'ia36  
　　sin(π/2+α) = cosα P [],bC  
: F.oXolc  
　　cos(π/2+α) = -sinα if *n   
>dE>spLwq  
　　sin(π-α) = sinα E',#2.O^  
0Y:?C ~T  
　　cos(π-α) = -cosα ,Y+Q3Qd  
E!j[j:  
　　sin(π+α) = -sinα Z%|`g\t  
J~Wj6  
　　cos(π+α) = -cosα |P:gK ?a  
 e*3v?  
　　tanA= sinA/cosA ! &-f9l  
V8MXE";Iy  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ti`qBU  
LN_ Kr  
　　tan（π/2－α）＝cotα l.e'#2+w  
`0k ^  
　　tan（π－α）＝－tanα l*L lDksh  
.45oR*?W  
　　tan（π＋α）＝tanα :b#b9@K5Z  
)_K ]TlbF  
万能公式 [qQh(W}m,E  
xk'dZ y  
　　 vh,hg  
,+>l;tV,  
其它公式 F__[+LqB  
f2'+&P"4  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 X2 J6w.0V  
-+K@| V  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 cxYs ,L?m3  
`5  j  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 !f+c RB_)  
Spn<sh}^  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Wwwu&/8DQ  
YgXe<sj  
　　对于任意非直角三角形,总有 Dy]\1eK  
M9Bz*9VAB  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC n KZnZP  
*m'/;3'I6  
　　证: 1\xHB>K  
Or5+l   
　　A+B=π-C Xeo7`t  
ijtYs`hg  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ;+vqaI2l  
Z}`*yk @<F  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) uy9zB =['  
y='cDU:  
　　整理可得 MkUQp ?  
41Q`c 4I[  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 0;|Jx& ^  
z>o ibS  
　　得证 p ~Y038\  
") <qz,@  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Fp(rOgh#C  
jep][,(Q  
其他非重点三角函数 O^d>I"u  
%O9_Va]:  
　　csc(a) = 1/sin(a) \C/Rw(i  
~X!7T!?kA  
　　sec(a) = 1/cos(a) vP2$2sst+  
__n_U q(P  
　　 KbP| [!  
XsJ\l}u 0  
双曲函数 #P1h7H; A  
Lm'QB9(4,  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 7Hj*WfF  
 poHSC85  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Vur9 6A  
M$=BA);  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 6Lu;</Zf  
v,t)_w=2  
　　公式一： 'YOww2oAI  
{dZfm  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： J+!*h/F_  
}BfO!n(  
　　sin（2kπ＋α）= sinα `hx=\Fm:  
hm4Si<hM*  
　　cos（2kπ＋α）= cosα M#*/ |]I@  
~S( 0#<T  
　　tan（kπ＋α）= tanα :D&hHm  
l>N(W8/  
　　cot（kπ＋α）= cotα j5"kwsRml2  
]%j4=rnHv  
　　公式二： (LsrJI"  
-fr-*l  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ;~uIpgUqc)  
{i9k<LIxr  
　　sin（π＋α）= -sinα E d}bh  
:sJ9f8D  
　　cos（π＋α）= -cosα )N0# OfI  
+mZDJw8j<  
　　tan（π＋α）= tanα l5UM &J>~  
UH2DFaI{`:  
　　cot（π＋α）= cotα caBBhD3aq  
Fz08f$  
　　公式三： ]P ecG  
10P<yM <  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： FQ6~DK4j{  
:2xBr  
　　sin（-α）= -sinα \E?`>KX'G  
wlO*?%   
　　cos（-α）= cosα E+lBVt.N  
<x\&WV;534  
　　tan（-α）= -tanα t3u b%'#[  
\[PnYw4 f  
　　cot（-α）= -cotα =W^QdPQ  
RDr2j u  
　　公式四： ,ci^P>u:  
YqOA4?C  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 2>\f[?)3R  
mk!/M7s  
　　sin（π-α）= sinα j_r74Y'P  
rQW:8bq8V_  
　　cos（π-α）= -cosα \,0vIa?.2  
#pph*{`Kx:  
　　tan（π-α）= -tanα )CCfz#EA  
X.6q~I0~*  
　　cot（π-α）= -cotα  J75k  
Ik>L"3  
　　公式五： F6y^^1E  
m@C L;aV   
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： {j}7_H;S  
4,J(,]acD  
　　sin（2π-α）= -sinα tT<"D   
Q'-mR"eS  
　　cos（2π-α）= cosα }2 /@!p`  
LBoMx  
　　tan（2π-α）= -tanα +G>Y !T  
;\4{i)nG  
　　cot（2π-α）= -cotα 1&Y<]Ts'  
W) U#F+47  
　　公式六： D~hF 9.  
jB51cYes  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： E(o LG  
@i /\N6z  
　　sin（π/2+α）= cosα h,md0b'$  
ziI=,WN  
　　cos（π/2+α）= -sinα GM9|c^Uy  
WfPK&|YX  
　　tan（π/2+α）= -cotα * jCMpFh  
U5MQ!R  
　　cot（π/2+α）= -tanα -9f wX  
24=b+!FB  
　　sin（π/2-α）= cosα VmUJ; VX  
JC4g;[ #  
　　cos（π/2-α）= sinα .~Jo[/;z  
YpGd :  
　　tan（π/2-α）= cotα `HvoLQ   
Z)@Z2\5_  
　　cot（π/2-α）= tanα i4SnCCL$  
r9<>l'R  
　　sin（3π/2+α）= -cosα '$6c)@/  
""0_8Ac  
　　cos（3π/2+α）= sinα TN&c5{d~  
EF1HG&P  
　　tan（3π/2+α）= -cotα bgC3G^B  
Wi'vaHk  
　　cot（3π/2+α）= -tanα s@F(q.v  
[Tz i  
　　sin（3π/2-α）= -cosα HHVsG2J%  
b .ecWf!S  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Jdi}w@ @  
?+2tWWk{A  
　　tan（3π/2-α）= cotα H,d*$Gj|T  
4 Y#MJSz  
　　cot（3π/2-α）= tanα 7|)h1E,  
B4{8;E  
　　(以上k∈Z) 21?! YkS83  
BTA`D&!  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 k^OYa&*  
[^BS  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = CusM8$hy)  
' 4flm  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } `Ye#>ua)  
APq$iLOX  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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