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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 g Kaw Z"  
;R~bxog;?  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. N45IR\B-  
}3KF,Y4  
　　1、三角函数本质： W ?_>,@r  
mU4-`f<  
　　三角函数的本质来源于定义 f#/P5 |/  
A+.bB |  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 M 1:\O&tf  
:o,R`vD  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 'i;U63 |?  
S$ay1HSqr  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： !rBt(':  
FsH0PP>  
　　推导： fzBUc2  
8nLrO/eoA  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 P^)zN<Go  
eGmW$w?LDA  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) BhTY&t}   
S#;f_t  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) '[q?<E uo  
$W*/[vV(  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 SZC*,1y^  
&N}:+ze+  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） RFAFLrB z  
cltlN  
　　[1] &I7V Yiz^  
<cf`6vU1U  
　　两角和公式 8DL#xQ  
J^P6?QQI  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB '4 Brn  
42NNQ<Q   
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  $3E'1#z+U  
HTaF2+@  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB LBWYK  
uywqb>%Tg  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB %]%{v*LX  
H'#$hi4C  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) fY?d@ V<  
&9/u9&ZA  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) a3=':I&  
a"C*&  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  rm:ekrq84  
W{8l bKd  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) .jm xb  
9z1T1"oL  
倍角公式 +)J|D:@p  
x0TDf5NY  
　　Sin2A=2SinA•CosA OWB0CsIN!  
nakPI,W<  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 y)E,iF\$  
I)I;p`2)  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） [4 {\f6x  
XnXq#@1B7  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ( 9=<b D"  
l|s T?.Z  
三倍角公式 OQ%L\-  
MCar ,S"X  
　　 1` d$9%A  
j 6i_!~  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) dO7!mI5IrO  
!'eWV !Tu  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ~$?oglEF  
"sI.%zS@t  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) @YRr$:DCH8  
u["[4^  
三倍角公式推导 O@$Aq r  
m{UV5C];  
　　sin3a c$`)9"O`  
:~UW{u}.  
　　=sin(2a+a) s&5z; $  
Faa_;/sdG  
　　=sin2acosa+cos2asina Wl]$  
sT1=*E  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina hQdkD*m9  
\_&C=~s  
　　=3sina-4sin³a YUVu@  
K%A0-SSy  
　　cos3a 3^@4OA\  
y{Q8H^  
　　=cos(2a+a) MWqt T]  
3ESa RQS  
　　=cos2acosa-sin2asina O]-BC< [  
U$W^'9J  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa uk)mR52y_  
3 aq%k  
　　=4cos³a-3cosa sd\J^M  
Pv|>u{;:  
　　sin3a=3sina-4sin³a ;;L>Mf- p  
UY)gme~3K  
　　=4sina(3/4-sin²a) '[d l j  
EpOoC=:Jy  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] >a*1jwIU  
mtrHx Cc+q  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) lP9+uyx  
W9K=n?aw_  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ]XzC.G*K  
&N?FisP  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] R[>N%>%wg  
HAf#W7&-W  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) :%SFC`3 `  
y2j&v6|  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Tv9Unr  
r%&]6XOLL  
　　=4cosa(cos²a-3/4)  KbG&0*  
iZPBc;k7  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ZoP[`]\Wn  
Q,F<8&bx  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) l^H^5  
~-v q {}4U  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) uM$0QB~  
c/ ~Sf~w  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} T/*W##  
-.mr1F  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) y } 2xhI  
zhd\ 2  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] '_ AvHl~_  
f,GN12X7  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] n\_j?! z  
iyg-AD4  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 19J\\A+  
r7!XOm  
　　上述两式相比可得 q8(8]  
oC`y)4GD  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Kb|q[hV  
5{<;$.@ D  
半角公式 =Dn5hF>  
VH0Vg  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); q;miq>%aX  
pIrs19"  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. oPAVSM;$4  
@`g]  
和差化积 ,.<g30Q%qz  
*x}/o*hJ  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] M N/  
Qf|czY:A%  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] mi)3  
s*}bqCr1  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 6Kwf(3#Xd  
7#]j(Dnx  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] &~nkm  
g' ?/|Xk  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) }<J9XpIzV  
} I>@.[  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) l,EE^0P  
W3-%rT{  
积化和差 .nT+fVD2?F  
$2_^@pt  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] BH,j_0.vY  
a6V~.y|  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ?t@aB\#R  
50aEAk_#  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] l@,>9  
5jvy?TT  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ~n\BF  
di`/1  
诱导公式 jccC8a9&  
JBkS, x  
　　sin(-α) = -sinα PoqP S+U<  
qz&MBmfI  
　　cos(-α) = cosα &idS[%#/B  
CZ[dFWq  
　　sin(π/2-α) = cosα CNhjyWM;d#  
8L(:aXE_C  
　　cos(π/2-α) = sinα 2.=hie2  
WKLVKDG  
　　sin(π/2+α) = cosα ,C##mB|c3  
hP`H;RJ-`  
　　cos(π/2+α) = -sinα Dr=h-`  
C@%[<I;m  
　　sin(π-α) = sinα \%OYyF  
pm^r2]#  
　　cos(π-α) = -cosα o|6MqH  
<CEdc$f C  
　　sin(π+α) = -sinα kDOrb2  
94uJv,+  
　　cos(π+α) = -cosα 3Us,@<|  
r?+!-n'70  
　　tanA= sinA/cosA XpV]_  
l%zt:8$.}  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα C.hx>f+!  
N3sWjrD  
　　tan（π/2－α）＝cotα <gH tlX   
FhZ[b#W7:  
　　tan（π－α）＝－tanα UT\+  
%89tN  
　　tan（π＋α）＝tanα y_s$5  
%Ohlf'  
万能公式 ?#%C]I'  
Gj9|<o2  
　　 B ;|yJ0I  
)~c27  
其它公式 sK&MI-!? w  
,u>_2+DLY  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Y4+|!@Nz  
y+He  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Bf#q   
K>XV8R  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 *C*Ku?a  
_G!f# /u  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 +02a b8]A  
V ]XVy Ca  
　　对于任意非直角三角形,总有 *bgC9(4`  
hcL&.a-)@  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC a [e0G  
z&bd)lb;m  
　　证: Lu6wim[  
^|=5UR%S  
　　A+B=π-C w Z(CFo  
?.]".40c|  
　　tan(A+B)=tan(π-C) VRF"ayT  
0|WY+  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) kfX;_wRiAl  
5 9?\:;,o  
　　整理可得 skCR))o)  
?oOMU=&lG!  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7|?!YT!v  
/s'zgf'  
　　得证 -6LwOO9/v  
u'=zsnr  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 OKOZSj4[P  
j@y5v9fd  
其他非重点三角函数 H$gc H >  
)>7"@[  
　　csc(a) = 1/sin(a) a3yi]lH  
Ag5.i'  
　　sec(a) = 1/cos(a) *I>2  
69MT)%IfS  
　　 ?n 'Yi1  
Dtai:IUJw  
双曲函数 p| 8:2<(  
d!+uq0LU  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 fxA ysWBA]  
.um#zh9  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 j{{JJ[M  
(l'xu/Y  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) D%[M!r  
~FK@4xN  
　　公式一： @s4;\S6  
lM089^%  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ut8Hg,sC  
6V~F-;R6  
　　sin（2kπ＋α）= sinα _!c"@zgq  
V!3"v~  
　　cos（2kπ＋α）= cosα %4LKgC  
! <FWe'0  
　　tan（kπ＋α）= tanα nvB$* h~  
b(%:'m[~u  
　　cot（kπ＋α）= cotα z]6gY}q  
`` L;uL  
　　公式二： UR%@ r]4M}  
2b9/TG0n  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： B!qbGVs+*  
4?H[4P==J~  
　　sin（π＋α）= -sinα KnhS FQOo  
MUyO^S5b@  
　　cos（π＋α）= -cosα N;jU>,jZ[  
HI ?|]_9+  
　　tan（π＋α）= tanα ?Jq%t!l`G  
1Tc;cg0uH\  
　　cot（π＋α）= cotα f!ly`L lQ  
S@~ H93f+G  
　　公式三： JN\"tl >i  
x~WBC  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 5u 'rE}vH  
p>^cfL}3  
　　sin（-α）= -sinα b m }=  
Usys2s]T)  
　　cos（-α）= cosα _ q||r]S  
a XZtwg`0  
　　tan（-α）= -tanα 9LtWi!|(  
hbo]5(f]E  
　　cot（-α）= -cotα ; V`Q^d  
vF#LsL0 '  
　　公式四： Lbc v  
81]*%y21  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： A~xTbet:Z  
4JA5!280C  
　　sin（π-α）= sinα p<Y=q1!4  
6GN-3sKh  
　　cos（π-α）= -cosα zv+apB1Q]m  
/ C*/C  
　　tan（π-α）= -tanα j]F)4+x  
Gj m{(U4cD  
　　cot（π-α）= -cotα B2MB1#aI  
r{`5*}Mj  
　　公式五： 87Uh*b[V  
h}FNA <5  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： X|`Tr*  
^xt $I>  
　　sin（2π-α）= -sinα "7a4VNwt  
am"aM|w  
　　cos（2π-α）= cosα ncorP.1f  
%<F;r@kE7  
　　tan（2π-α）= -tanα JX7&<2I  
+A2lkHc  
　　cot（2π-α）= -cotα 7/|@  
a?8V{'6]  
　　公式六： e{3RPf0f  
.Q|&qC| +  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： V0 mdJO5s  
MXLU9_Knd  
　　sin（π/2+α）= cosα a"4oHu  
0%cn]hs^  
　　cos（π/2+α）= -sinα >ETxl?+%  
?p+u*lk  
　　tan（π/2+α）= -cotα fD@Cr!<f  
7 s^~CI]  
　　cot（π/2+α）= -tanα cy9HGT0  
h&rz iqg  
　　sin（π/2-α）= cosα `zr,)u]U  
7kVI M4  
　　cos（π/2-α）= sinα /o"m w_.DT  
ww;=. mZ`!  
　　tan（π/2-α）= cotα t+4b* D  
2W>h_[nw  
　　cot（π/2-α）= tanα ]=z@&ti  
N#Lh9 r  
　　sin（3π/2+α）= -cosα e,a^osb[,  
 XC xq  
　　cos（3π/2+α）= sinα b_Cntp &  
< kt9]Bn=  
　　tan（3π/2+α）= -cotα A"2KgTig  
SG3]2 t  
　　cot（3π/2+α）= -tanα V^s>^~u]  
gE$VY@   
　　sin（3π/2-α）= -cosα qju1U  
<E &cae  
　　cos（3π/2-α）= -sinα h7n^[ts2  
]L*BMl  
　　tan（3π/2-α）= cotα 3g{-77?$&  
eT   
　　cot（3π/2-α）= tanα xVC8U"*]  
"D^(s  
　　(以上k∈Z) \} &DN)1E  
#y+mP y  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Z8kdq3u  
E7BR6%Th?  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = zc"0m?E  
K vUo41  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ^PwgLFy  
HUA({;"G&  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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