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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 T{ \l:YE  
*;jv{P7%  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. t3JE;S-&=  
evm*r<4*x  
　　1、三角函数本质： LZ>yfC  
][Hsw#  
　　三角函数的本质来源于定义 I`5PNqZ  
|MLDUjLk  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 .t5WK$@Xv9  
Q"m27  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 VRVL/  
}R mbjI  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： W@+uQOYCG  
8G'$ T$>?  
　　推导： $gE/wtmD:  
7Exuu$q27  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 x**q*=  
!g][? @iK  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) [Quv]8cFn  
.]l> bcz  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) CO(VQnL s  
]oxST-~ }G  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 o|iM;N'a'f  
74B-:"9u  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） \SyW[I|e  
{W#H\U  
　　[1] T`uW)l^[(R  
tb_M 5.yg  
　　两角和公式 pXkM- lf|  
QmSjD>ys  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 5Dl4,~m:*  
9e2R*|g^#  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Gj]m _  
.tWd2%B9  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB nN"l73(%  
\L`*}Og  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB N}1 l~4  
.'shjjy  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) _ (A{@]$  
RE @;&n1  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 3?a9HM  
I0;y`N0p  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ?b \.ioh  
S.;C#)  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) jC#w2nm`g  
/8wU<7:  
倍角公式 Ga*pS_?  
!4pt~uuE  
　　Sin2A=2SinA•CosA H .qcb8V  
le MaW  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 yi(DC)7  
1 mM   
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） +yQD$?c  
xPUI  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） /m1 /C:  
MXVsVc pD  
三倍角公式 6Ve.%rC  
6k)qv-  
　　 !Q+pRVf  
!`KFdT  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) G]<e2f0+  
/QOBv(o+  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) +8Fs|F/=  
X]-dcwct  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) %m<v;\  
6Ab! w  
三倍角公式推导 M*2`(0|0M  
~dXj" SL  
　　sin3a 7KXj9uYtA*  
Z$gz'/^  
　　=sin(2a+a) yiFApI)  
j29XOql!&  
　　=sin2acosa+cos2asina kM'c0X  
zrQ'8$  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina <U@7S *cH  
E)C&CC 00a  
　　=3sina-4sin³a 8*P.m+*d6  
^M#|'1UQV  
　　cos3a 1\wF }:  
BBd>>'r^   
　　=cos(2a+a) POjJhl]02  
-= }%Uf  
　　=cos2acosa-sin2asina G$M`M  
zd/"SJa  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa < 1 _}$  
/ MD,O_  
　　=4cos³a-3cosa =4~ Ep  
~i-:?9F  
　　sin3a=3sina-4sin³a 0 WO_1^|_  
*8BK]1tC  
　　=4sina(3/4-sin²a) V#H@`  
leqTp m@  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] U}O9o5/w  
rw7m")E  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) M`NpSu91x  
>V^5 .  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) FF&`-  
z($J=>\.  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] GarQ}+D#0  
RX$z-s  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Js#: P  
5.pR6Z7  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Tna7  
.!mR'=!  
　　=4cosa(cos²a-3/4) =[fy#M")j  
~sw`QAJc  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] z[E0yVCR  
,QAs-  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Za;7a,p=I  
QV~u|'|x7  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) iZvJO`uQ  
3{*.'k&  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} | >~IC?B  
>HO9*HFk  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Zf a$ Xq"$  
mz&F =x%Y{  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]  dCONY1  
DW4$z >@j  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] tv|+{ |V  
eyL8Vn  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) lc T##0*  
!id'f  
　　上述两式相比可得 ;i z0De%  
aJy7*E~ v  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ?!=U0aS<  
`T!H=2xy  
半角公式 j`a6& n9@  
4D-^h^  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); V ?X;0J'q  
{l(p hkw  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. -;J B~J  
\k7w\Pz  
和差化积 :n zN+Y^+  
6KT2oZ  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] GUTN9$oM  
xq @ZL(  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] gB@[R6X|z  
 S ZA8ZF  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] i,ia <  
$0Mpo4  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] mThj <J-X  
MR1EcJ>hx|  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) n x}Na&  
.y,(w2  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) DSIa{+4Q|  
[Yt}FgDJ  
积化和差 x=}3$<  
x`;WL]*c  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] PS?RAEeQ Y  
-9'~z{  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] G&( P  
0XI*68h.k  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] j36 = d  
ra 'VwJ=  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 4 QKW><K  
I}dB^q66|  
诱导公式 SsL.P!Z%  
VlGB[dV  
　　sin(-α) = -sinα .lq+E  
WU J7~+|1Y  
　　cos(-α) = cosα * 77 (N>  
H)*`LHVe  
　　sin(π/2-α) = cosα ?%8%#RQ"  
Hv sVoRB  
　　cos(π/2-α) = sinα '7H] SbF  
lyRU5  
　　sin(π/2+α) = cosα W"xVrUZ  
HkrIss}]  
　　cos(π/2+α) = -sinα _ 7/=t  
T16Z:wZy'  
　　sin(π-α) = sinα E/.Q7i9l  
"I0 /BHu]B  
　　cos(π-α) = -cosα #K1Y KzG|0  
tki0.5<R6s  
　　sin(π+α) = -sinα b.P[S1^(JD  
P -U!D sL  
　　cos(π+α) = -cosα Nl*5Z_  
m:oYJ8"&  
　　tanA= sinA/cosA D%vj&  
W]XnyE3  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 2D"& WNgf  
(,`IQZfa  
　　tan（π/2－α）＝cotα :e'DSSu  
sVg1xr9  
　　tan（π－α）＝－tanα nv! ;h,o#  
2y3j*%  
　　tan（π＋α）＝tanα eO%1.`Y  
gk^:X?Z  
万能公式 m9- &AA  
f>_0pNP  
　　 1%JvFP  
9l._kSL:Y9  
其它公式 Nb2`(W0  
e]=0^'9  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ]pw)m  
)#_W,G-#  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 O /i`kT  
x9PDB2<{R  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 N@0AGh4f  
joWx4MZ  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 a\Rj(\ we  
PzBwSX6  
　　对于任意非直角三角形,总有 k~@{mx+N  
uwxA}B3h  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC elW"-A^G  
5 Ygns3d  
　　证: /Mb+lqg  
pEsG[O {X  
　　A+B=π-C . CL5Q\  
<G.yud  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 3'NV=v$  
XO+\ &bf  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) .7Nx7(oNi  
-#AS HQb  
　　整理可得 ntx~ILf  
:+KS}zn  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC |V?b]]H  
Y8>_M"-?  
　　得证 :p> K$ 3VX  
m&S@EJ&J  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Kv>[lc?#  
,7~BsrQ  
其他非重点三角函数 /d;,a:]J  
qj4BgF:C:  
　　csc(a) = 1/sin(a) r:(M c6UI  
Ip3E f  
　　sec(a) = 1/cos(a) x;~?x*U}  
q$EmGi/>L  
　　 yTj`=?c S  
Ue^I+q2~  
双曲函数 Sjn}NK  
F/[7  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Bivs&9  
\0lA3e ~7  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 !- 7l`zGH  
u`&Se[[  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) + %cf196  
){bmZPSdr  
　　公式一： sMB^=rE3  
|UxmM ?  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： )`7,%'"(]  
nIL1g!  
　　sin（2kπ＋α）= sinα {Gv3=W3  
{F7:Yc!/  
　　cos（2kπ＋α）= cosα kO:G +cD  
OHD^}j  
　　tan（kπ＋α）= tanα j 2O]9pf  
T+z)0"  
　　cot（kπ＋α）= cotα ]F|0  
<1GoHy<  
　　公式二： O<r [ts` r  
w-(esuZEq  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 1bz]zigB  
=cs t\-p~  
　　sin（π＋α）= -sinα ' c`m|9T  
NeNM  
　　cos（π＋α）= -cosα UE'Vn b}K  
2}# Z[\F  
　　tan（π＋α）= tanα fL~.4I&^%  
"5{U|15X  
　　cot（π＋α）= cotα $'R ?'Wz  
$Io 4F  
　　公式三： {,o?4YFZ{  
[Rl+*n'  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Sxl y$  
nJlO,-'i  
　　sin（-α）= -sinα FeL7| t[y  
|&*bB>]:  
　　cos（-α）= cosα cgVt|L;o=  
1|}l&:T*  
　　tan（-α）= -tanα 6Dc9cjP  
Zq[W>_Ji  
　　cot（-α）= -cotα sT26:Lw  
}He5-\\?3  
　　公式四： '[3w3um*2  
$CL#m.w  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： &jxuz  
wyx)2&=R&  
　　sin（π-α）= sinα 4~B!'v  
oHJe*U 1  
　　cos（π-α）= -cosα *v+4}a  
C>1 ZFn  
　　tan（π-α）= -tanα ^T7FK  
{ Tzdy{ih  
　　cot（π-α）= -cotα orjH9-V %  
?_;4FL(  
　　公式五： [_N^G[[:  
s?xlk;DhF  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： GnlO+D   
y `f \{  
　　sin（2π-α）= -sinα 0H,i|}l+  
|9(FBUn  
　　cos（2π-α）= cosα x)+8:IE%  
XcrgnH[":  
　　tan（2π-α）= -tanα 4'%:u_.o  
<w@KJ86iL@  
　　cot（2π-α）= -cotα ;[&`,UM  
Q$'z<*l\  
　　公式六： laU\6")k  
Sb"]*ZP  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： E<)Cn@e7  
n&/JS]  
　　sin（π/2+α）= cosα ;vr];<=  
*fH+v3<$P  
　　cos（π/2+α）= -sinα J_fv~|I.)0  
2L1_0i  
　　tan（π/2+α）= -cotα OtH]Co  
M" iio}  
　　cot（π/2+α）= -tanα FW!*+r4_  
]"Nf5{XQ  
　　sin（π/2-α）= cosα C3Ys1ns?n  
B9qagh_~v  
　　cos（π/2-α）= sinα v@=20f3k  
(Ujpq.z_5  
　　tan（π/2-α）= cotα $upuIb*  
K\DwgF  
　　cot（π/2-α）= tanα z< d4~1  
!RC gUtC  
　　sin（3π/2+α）= -cosα f?Nb[V61  
@A5'<3y3  
　　cos（3π/2+α）= sinα 9c=lWV  
e%s8bdA7*  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ;q|0rek8  
tK8B``=C  
　　cot（3π/2+α）= -tanα D!5aU:'  
QpxkMR  
　　sin（3π/2-α）= -cosα QKbfb-`ch  
=0f>Dq .  
　　cos（3π/2-α）= -sinα \%G?*   
~T* b}{  
　　tan（3π/2-α）= cotα D$+T7|87  
dU G8gS  
　　cot（3π/2-α）= tanα @2=-AhO`  
F /yl0QPa  
　　(以上k∈Z) Grf_-  
^~tW7k  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Qr)A@I.r  
+X<T M!  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = (0 %@C-&  
"2 +I[E  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ??h,$dV9[  
DVG 0v[!  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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