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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 5L:;W 3+  
2i[O&  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. l~$^xP  
YH@w[fW  
　　1、三角函数本质： :b:;R~4  
0}5 $A*  
　　三角函数的本质来源于定义 K/50zOF-  
>*w W*%z$  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 WIC)5U  
?2v(p6[  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 0Gc=$'FXO  
<{I7Mz^nh  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： \,PL4  
` [e;H{}v  
　　推导： __'1 @G  
+?liPn}  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ;?m  
#nE1$  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) p;*Jo-]4  
GqUF?R]Aa  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) pn ^4  
'vYDD.+B  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 qwL Inqw  
s2}<:   
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） [zZx.m  
8*&3*a8K  
　　[1] Ppurd&Yl  
l~]hrF@  
　　两角和公式 \b gQz3P  
_@e-17  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 1z[fzaLz  
PrB^C4mwr  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  UdA.LUU  
T[W#h=.0  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Ro|5"Nr:&,  
$Kv$(E#U.  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB eq xc  
]s(EhZ!E  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) pQS2<0EDi  
V0&hYI1[  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Y@5j8&Ri  
\XTtiCn.H  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  &i0,Y]  
VhyXVzBx{  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) iTm>#h='  
S* -owbc  
倍角公式 cxjM"g:  
7/Poll;o  
　　Sin2A=2SinA•CosA R(;;.$\a'  
#Juw-G`  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 7T@>T^gK  
9y}E8$Uvs  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） /(vPz,]  
HW<2#BN9  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） sy"XZ6 O,  
U-[<x:!  
三倍角公式 zkiRO 9B  
!vi#~Y=s)r  
　　 ,L+v ClNC  
[Ct")h6  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) B9beyL  
/bGp}|  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) U 9Cv"}SW  
--_ nBY  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) }<{%wlw,  
0rk$4>VI  
三倍角公式推导 pywl>^GuZ  
oMpSt5f  
　　sin3a X+zl]Lk_  
%Ls+d]zGhG  
　　=sin(2a+a) ?~J 9,  
uzra7'_N  
　　=sin2acosa+cos2asina 7EjDR1i  
V%QgvC[S  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina -%ix|E  
p vsU[j  
　　=3sina-4sin³a r;)n:1X'2  
^EjV#]:[L  
　　cos3a k9[eWon  
^jp&vW  
　　=cos(2a+a) 6_j^/nAwLt  
t]7GPO  
　　=cos2acosa-sin2asina 'HZK[Z}O  
&|\5qi_  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa TvEd6Qc  
iuFG5qi  
　　=4cos³a-3cosa z$9fi,%h  
+o@ .T4  
　　sin3a=3sina-4sin³a fC,Gf\I  
dq>Ix+%x  
　　=4sina(3/4-sin²a) o!^Zk&7V%  
E9 t_fQZYZ  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] L=pO>Y"/M  
GV>gWPg  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) lgxekQ  
$<UcO7z '  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) NMWSz  
[3:FF}L ^  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] LC6e8$bhC  
&s!gXJgo  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) \3m8I.2`'I  
|ay<a}8   
　　cos3a=4cos³a-3cosa pRehAvm!v  
s"_ 2q8  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 5uh(OBK&  
L9O\-(  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] [W dDG  
M;*p(|KO:  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) CQd/wZGU  
o)UE|pjjT  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) WT:APC   
to0=q#~H  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ,R3#-i}:D  
03R/<RfQ  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) `IDZ5, 6$:  
CcEYU+C0  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] jq<(0zn  
v*^)et<  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] "G4:1>Aq&  
8Q7|r+6k0J  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) J8o ms Q  
>m + fU]_  
　　上述两式相比可得 l.8C8P:o>\  
skJF?6  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) a*]#FM6  
C7r;r{b  
半角公式 UkBbc%  
_;=BfoL~C  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); xSdeR p  
s4n*?r&3F  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ^"(BjL_ 3f  
(,X%uj{zL;  
和差化积 6C]NLv  
>fCE2y0'  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 42ig 2XD  
]GzvYPGI  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] X<Q Au  
l"Lw*CD'  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ]ih5Go]H  
nCfT#a =*  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] bJS86~q  
NR]y}@*;*  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) KuVB  
1hbOl}&no  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Hg,zJSxx  
%-GLdE  
积化和差 :}E%<%:]f  
tj@ md=x?Q  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)]  a|C,E  
0l"XrtXy  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] +?BSSn  
3Q:Se6vG  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] MoP:UjbFO9  
4q/=E Yt`X  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 1c'U,]&Y+  
$&\H#5k[  
诱导公式 AG~P@I2  
bqLh##]N^  
　　sin(-α) = -sinα Eb;\t%{xIQ  
e !<f.=1  
　　cos(-α) = cosα Mi iUcI3@{  
BaT5<=;  
　　sin(π/2-α) = cosα ^N`&wCD_  
8bG=+K{  
　　cos(π/2-α) = sinα h{*]E0x  
dH9l=LG}A  
　　sin(π/2+α) = cosα `K&f,q y  
CMfE>9  
　　cos(π/2+α) = -sinα CRYs%8z=/  
+Tg"nSRr  
　　sin(π-α) = sinα J4cu&G =$P  
6B1AU%U  
　　cos(π-α) = -cosα A\XOR  
)#A7~Ti  
　　sin(π+α) = -sinα Z3 >kHq9"  
WU ;}v2/Z  
　　cos(π+α) = -cosα P3)m#iWv$  
jsjLHAcF}G  
　　tanA= sinA/cosA >}D#Gr1  
Zw ~W"Cf=  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα n><$[dOgX  
uPU/t|  
　　tan（π/2－α）＝cotα 8&K Yl7  
g04pB&nyP  
　　tan（π－α）＝－tanα ;t:iWbh(^  
r} YEJ5y  
　　tan（π＋α）＝tanα "Kv}CA6(%  
/t<D 3s!  
万能公式 25U / wa>)  
) $W2  
　　 OC& ~t%  
m>R{9J%  
其它公式 V w x gD  
]H\9L$kEml  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 FbOWp`g  
v3uc+4O:  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 &316oiq5  
xa 3fLF1  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 {X[@E ]K  
vmFNj6n  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 6OX1(k`bh  
B|s[7?  
　　对于任意非直角三角形,总有 vl`VGeg  
-JaWr<Y<%  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC _h;|726  
vhp*] j  
　　证: RvLa3cM  
d>T6Gs  
　　A+B=π-C A^,m'.DA  
SwJ(K"  
　　tan(A+B)=tan(π-C) `cQXr.`9Y  
<Y(iF  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) o'_n{cw  
J$MWB1oy/  
　　整理可得  V@f [/+  
9^X3HgG  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 2 }M\z  
Z2}&>Z]  
　　得证 jCiy.]/  
i~1KjTw  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ;z5bG<  
pTi   
其他非重点三角函数 j}@=zn  
YUH Ka&/A8  
　　csc(a) = 1/sin(a) {rH?S) N;  
Gp zRBbv  
　　sec(a) = 1/cos(a) _0U]/*vM  
y#Wp#yy&  
　　 st&O&DGJ  
oyjede1?  
双曲函数 &;n*ho&  
?~eWc u<n  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 [6( Au S  
zbvUvr>L  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 - 6U\B6M  
f|@ Z#Q  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)  wkG)f  
. Z?7fvqUr  
　　公式一： A#sIi ["  
kH@fDp  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Z@4*Dp  
3Fr#~t F  
　　sin（2kπ＋α）= sinα +ZfRlN# P  
\WocMb%L1  
　　cos（2kπ＋α）= cosα c`v/o :y  
::w<g4  
　　tan（kπ＋α）= tanα H{ Lm:  
MZ+6'p i  
　　cot（kπ＋α）= cotα s\hrO%I"?  
^)PoKm\`~  
　　公式二： t4]LWM[!  
@p&]Mf9  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： u/80 Vi  
}!I>]O3f8  
　　sin（π＋α）= -sinα xao-LR]X"  
q*h@*0) K  
　　cos（π＋α）= -cosα J=# kg[  
OW on2,  
　　tan（π＋α）= tanα M 5?Fz,Dq|  
?V_K4uD  
　　cot（π＋α）= cotα GM02  
k a /Ec;/  
　　公式三： f*ys(!  
anG_~=$a  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： G/_)HLm  
fD6PVJ  
　　sin（-α）= -sinα H%1}[+E.6Y  
\t[~@ssq  
　　cos（-α）= cosα Tr&%Nm<$2  
U")x"[HX  
　　tan（-α）= -tanα v7Bb -rRs  
{"G k&<M^  
　　cot（-α）= -cotα ^,)1&;+  
|6Kb_#LF  
　　公式四： O%hRMA[Zp  
oG/ D +pc  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： $hGPRo4n  
mS__y_0X  
　　sin（π-α）= sinα KS]_8GDO  
"{;*P[O  
　　cos（π-α）= -cosα `~Ai] 0_  
Zn sR  
　　tan（π-α）= -tanα ?\DRlv.y  
%K?E)s{J%  
　　cot（π-α）= -cotα `rJ_ky6dx<  
:uDCLfb\  
　　公式五： aKf9b}'I  
|QCo!<aH,  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ]Djtw3@sE  
@4P;"hqd]  
　　sin（2π-α）= -sinα 96bj  
=ZErId q <  
　　cos（2π-α）= cosα R(z6 0zp[  
)byRv<=E  
　　tan（2π-α）= -tanα -Xwhk.-  
IFG f+#|  
　　cot（2π-α）= -cotα k- :ys]_  
Q|CPk f  
　　公式六： {0CWQn7  
#b4qjG]QP  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： hV6T[Lu  
I3ed)pudR9  
　　sin（π/2+α）= cosα RV&P!0z7  
ml#ei  
　　cos（π/2+α）= -sinα 2qqLtI9UD  
HuTSJ87g  
　　tan（π/2+α）= -cotα 7h{rSZ?~  
>Uwa4^<  
　　cot（π/2+α）= -tanα yNwf^Ld8M  
XJt(IdW)M  
　　sin（π/2-α）= cosα 9/a`8':xk\  
+k kgH  
　　cos（π/2-α）= sinα ?}Rs?7H  
2 xs!yh  
　　tan（π/2-α）= cotα \F(!P/87  
" [#=mH  
　　cot（π/2-α）= tanα ?mp1J Z  
nbqC3M@W  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 8sb hu`  
NfYG.XNa  
　　cos（3π/2+α）= sinα PZ3nzk   
Xz )&  
　　tan（3π/2+α）= -cotα YR| 5D.x  
9=,B&  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ;u#Ji8,Z  
Cd$jFZ3oM  
　　sin（3π/2-α）= -cosα npBfDR8  
'4c9=p #!  
　　cos（3π/2-α）= -sinα nR"jir;  
}B4KaPq  
　　tan（3π/2-α）= cotα ",Rz#x`  
ScQ1wb%<-  
　　cot（3π/2-α）= tanα cg]:wPLzM  
1EIAo  
　　(以上k∈Z) X88?(jc  
)B1bZWB  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 M|grXh  
R0B* X  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = FPG)jF6  
sjw0&iA2  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } jq> A^  
HD0TQS  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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