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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 UV]Eh  
.~X#^+x  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. mk"HvD  
Ga18?o Bo  
　　1、三角函数本质： E5?{r  
TcNGl yp<  
　　三角函数的本质来源于定义 NxO5rHOS  
T r Y  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 'H/CrR>  
mAgn(>sw  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 SxW%$3cK=  
klMu &{  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： J[&=$  
`L_z-&yfG  
　　推导： E;c\`S86r  
rVjdwD,l  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 s.0w_RDjBC  
8uy\67ub  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) fp4`US!OH  
H q0~>ic  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ~^A?'_4  
.3$dS^8mZ  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 bs%%n5  
&@>c%\"g  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） G$?T@r0Q  
"*?A {  
　　[1] ! $QgU  
~w:w  
　　两角和公式 b-$,*(-;y  
67wnosfe`  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB K+6c:U|  
w);r/[+N  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  >_TQjO]  
-`QpMI1'  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB Y|8I *Ja  
Z!K7  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB yP2Wp z  
,M=LR@wd  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 9U25`(%Od  
Db ;  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Q?,^g7 %OA  
eY-kM2.cn  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  zSy2iGH%  
|6yR V +J  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) )]C,]@@%  
Gi>wa  
倍角公式 rpUKN5F;G  
oH5["7oyX6  
　　Sin2A=2SinA•CosA JVAn~d  
R&=&4n;:b  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 )*F~Yr`  
5w0"z )/  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Vic TZ  
u]Z5+ze%  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ix?:6/^:  
?>Mb.<!9T  
三倍角公式 L,mV,pk`G  
7H&Hh5@ v  
　　 <;~ry  
6I^ 2\td^j  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) n}oqm"vp;  
|D> Y'=X  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 3{ b%#!A  
g5!X&?h"  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) tYmChJ  
]T;'xy(g3  
三倍角公式推导 kOJw~&  
w H@+<l9  
　　sin3a zS|++"m8  
+{KJ}g7<  
　　=sin(2a+a) DVzuc)A2O  
l4KEDg2p  
　　=sin2acosa+cos2asina Bi ALQ9<  
"YnNNLTG$  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina <} N '58~  
3!zZf0Bk  
　　=3sina-4sin³a #1s,^'1  
3\Jy?zKY\  
　　cos3a 7^+ 0   
8[]ZG  
　　=cos(2a+a) P`1v~yla]  
b\ js   
　　=cos2acosa-sin2asina (,ZEq$  
]dWy/ J<z  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa  iw(zs@y  
*6}#MLY+.  
　　=4cos³a-3cosa rX9;5k  
^7{% -x  
　　sin3a=3sina-4sin³a Xrw$M  
UX*rH   
　　=4sina(3/4-sin²a) -5~e yuf5  
GO JN <  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] /X66Fd"  
<x-Q^K  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) euR53@`b  
7}.*h  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) DQ a 3uGc  
FvS\ 0E  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] }c 'qEA8(  
"?c>tn0.  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ^4N#+  
* ^<@6eQ8  
　　cos3a=4cos³a-3cosa nQ:-)zUv  
l Ae!+QQ  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Z?Ie~-5m  
MkO]GIG  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] RAJ}"_ -  
C v/]r]  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Fe{ YP'  
?dy#0'   
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) H8+4;RcwU  
 {btBEp{h  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} xf$En; y  
!(cb7/t [$  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) KqDLs8<  
LA_<~;  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] `TfrhxCgH  
EaZU0\\  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] @ ?=x3dw  
zA>IB3L7  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) S]:5<  
eBud8S   
　　上述两式相比可得  g$'fX|  
e#6kH5a  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) x  Wj6i<  
@0npx  
半角公式 m|+ L>g,  
1:W5?:Z=;  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); J;^/O  
vl'RTuqNM  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. I1> t*"z  
p | 'EI  
和差化积 JK.02F  
l 6Z@Q`  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] `"f>TDr  
|D&k %)  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] rl.|& +r  
e/$FTmS<  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 7^Su X  
Nny24C),  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] m82oa-[  
U0Asml^~  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 3Dyf2-/eQ  
v 6Iv  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) BpfmJ\"I  
& &b."7V  
积化和差 ] 7`rZbl~  
~77G.' GtD  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] e5 I3o  
8ULF7tw  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] )^LRC*L&  
T8uU~m;Qx  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] $~69JmGl)  
sIEx^ pv9  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] rmpJj hL  
tvsuG`  
诱导公式 %iU~-4vv(  
S$4yaRUd  
　　sin(-α) = -sinα v_j ldw z  
$b]pq;#  
　　cos(-α) = cosα ,x,]G^  
YDAud OdJ  
　　sin(π/2-α) = cosα q4Ya A  
.sCa(X54_|  
　　cos(π/2-α) = sinα Eyh;LlY&b  
=r^nYB:aG  
　　sin(π/2+α) = cosα ~CoQl"_  
L#|Ly[,   
　　cos(π/2+α) = -sinα ~q4YJ21-  
w^G;Cw  
　　sin(π-α) = sinα .6QfO;;w  
{l<sUmQ  
　　cos(π-α) = -cosα *ZHJ!  
lH!A&1se  
　　sin(π+α) = -sinα h^G0Y:D  
R ! ugWc  
　　cos(π+α) = -cosα [OSGC+?  
J6t j)rc  
　　tanA= sinA/cosA n>^b$y](  
mB,V\4H?  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα qJ /(+xH  
EA"mC+X  
　　tan（π/2－α）＝cotα !<Sf%Y`F  
>o?4F  
　　tan（π－α）＝－tanα J)bu^T  
FC B 8>  
　　tan（π＋α）＝tanα bd<'kiuS  
zU;v%:c-qJ  
万能公式 _i`yEa.V  
h>g)57Jz  
　　 k*o zhq  
!M{Pqg"  
其它公式 {R?,5&N%?  
W |ELQ>H  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 78%4i  
'gRL4Wgv  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 rg(L_6  
xO:JHn$~&P  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 [ o]}uK!Mi  
8GSiBgJ)`  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Mdb^$:Jn  
Xq7<C_4<  
　　对于任意非直角三角形,总有 u4YFc>j'&  
meoZ#M9w  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ^y&.i[zMt  
z{}Rfv3x  
　　证: T]B"6(qe  
dbg6OtE  
　　A+B=π-C @>3R[)Y  
YF" a[  
　　tan(A+B)=tan(π-C) bKB*%"  
W?.@*?oI  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Y-:wT`#  
*O\^ ~FX*  
　　整理可得 1`n'0K  
O0F)xq}&  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC =-3POqH~  
EVJ[b+!+b/  
　　得证 O3` D0k'3  
a 1l4,   
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ]BS#G0$,*M  
vO-3aeWQ  
其他非重点三角函数 3|;[|  
zz.6MImI  
　　csc(a) = 1/sin(a) /9T =iCxC|  
"mHv9M-  
　　sec(a) = 1/cos(a) uyux+)A  
Qf&d[Bk*  
　　 ![ 5} j^d  
'/}WQ!Y  
双曲函数 }`<I3+ d  
l(D-5Xey  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 h?_*9l>4  
+ >~`7{  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 _xF*H4@f  
3'0ZB1>:  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) M$DLgQ  
/B!'s`k7>  
　　公式一： |m\k A{t  
c2sbUZ]v  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： saVLSNL@Uu  
V] <7=  
　　sin（2kπ＋α）= sinα e {V<_0  
>1 9H:Q  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 6py|e  
DaKQRDMBB  
　　tan（kπ＋α）= tanα bTSd!mgx\  
pjt1p=1  
　　cot（kπ＋α）= cotα >+k0Ks7  
oJ2T"I  
　　公式二： r~ S+@<Vh  
`2?{]k9Y  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Jm[7Y{jz  
1Co m0 [;  
　　sin（π＋α）= -sinα .W:MG.Dz  
8$l_B0  
　　cos（π＋α）= -cosα RF.W,YJGA  
_l_FI<i4  
　　tan（π＋α）= tanα ],SXr&r  
d"65hKn 8  
　　cot（π＋α）= cotα 4ytW!p,8  
wcU7(zGW?  
　　公式三： Q a_GB:G|n  
T4?af2,5>  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： !OVm=hVF$  
1l0 (:  
　　sin（-α）= -sinα br1 #"w  
y8LQ&WmR  
　　cos（-α）= cosα ;R1vNS  
>tJvfg89$  
　　tan（-α）= -tanα 5qr`ALC 8  
;*Weo1lg,  
　　cot（-α）= -cotα $3hd-I!Q  
nhA34G  
　　公式四： B>$yNL.b  
 uE]-,-  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： (BV'aC:g  
8 ?VeoQK  
　　sin（π-α）= sinα )Q)\3p6  
2Nd(f@~-  
　　cos（π-α）= -cosα <rfhbF +  
 @?w(Z'3Y  
　　tan（π-α）= -tanα =} @<z, L  
zH BDT0G[\  
　　cot（π-α）= -cotα j>Sb62L  
ts<"DTQ  
　　公式五： _#bkDD5;  
ZIa63  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： RA[gARg  
,bS6o`  
　　sin（2π-α）= -sinα >,1IC[J8H  
3 Nx{|U  
　　cos（2π-α）= cosα b"k>&  
tQP#HP;  
　　tan（2π-α）= -tanα e"3V <.  
faq qOmCYc  
　　cot（2π-α）= -cotα sLO$mG  
k0no  
　　公式六： %oeY]fti  
w;|5Y' w  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： rBGcI5~V  
}XTPX)  
　　sin（π/2+α）= cosα Jz+}aK9l  
5Dh!xOACG  
　　cos（π/2+α）= -sinα nM3e2p k_9  
cR>k\Xg]=  
　　tan（π/2+α）= -cotα %E7/* m  
$o|o-f1<v  
　　cot（π/2+α）= -tanα Dv='Zeq}F  
RGVenI@G  
　　sin（π/2-α）= cosα $H C  
4kHcP1  
　　cos（π/2-α）= sinα DxU@jV1  
K(pr}w_~7  
　　tan（π/2-α）= cotα lCr.S C  
s|I4Qu.D  
　　cot（π/2-α）= tanα nhSg "  
K c;`B"w)  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 72hhky6  
0OxLH@f{N  
　　cos（3π/2+α）= sinα 6Rw8lMJ  
imMDH"  
　　tan（3π/2+α）= -cotα E/:gJC  
m+' Uz]B  
　　cot（3π/2+α）= -tanα uJiIbS5[  
4e` ,Ftw  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 3V57h;?  
EZ(.!eWF  
　　cos（3π/2-α）= -sinα `x,HW=O 6  
CW[*5hO S  
　　tan（3π/2-α）= cotα <Et ;6?a2  
b|36T+ln`v  
　　cot（3π/2-α）= tanα /_iDn)d  
PB gLxJp  
　　(以上k∈Z) o!r4&cn2  
95^ycH]rh  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 !)'0/\nJM  
0W3G4}ME*  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = G3lDc  
W6;lF(Y2e  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ra_,sCx  
D)dyX&=  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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