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三角函数内容规律 $OpEvU5yN`
>H ` {
三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. b4k9fQDf=m
YW*Rz_O
1、三角函数本质： X*6fI+>op
]c;9v >Aq
三角函数的本质来源于定义 MXF&<u@E
W+(Sx6XP
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 K uSs
VK qPD27
深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 e&+;l2*C
9z{DxUu
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： m sbyiVs
]nmd_I:d
推导： tJ"!p
wMX"yn!2
首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 'x]YUI
Zc(W}-_N#V
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) - '#$nXoE
-B=y If
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) z5lZ
7
t2\siMyWBP
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 z+'K?{[
u:)u;rK
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2）
51lJ{ 49
Z
|:R]\x
[1] WY`)r
E
1p*7SWlG
两角和公式 r:Q@0'RK.e
.`\:.tVK\
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB S 2Z
lu/
* 8}r|xwZ
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB $lf Yo~3
DMoLg8M
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB v'M_-L%*
yg]xmZ1z ?
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB \g|ou{U:
ph4F->F:
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 5bRoKT_ ^b
fTUS*_Z
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) m[( k7
|Z''PAR`,
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) oaL6
+D
GEBf
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) "+
O MI ]T
p@[fev$[P{
倍角公式 &0T!evhkG
)o)vQ[J
Sin2A=2SinA•CosA `E/:#$
dV7JV5* "
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 }M !@>
o
\gRKe(r;
tan2A=2tanA/（1-tanA^2） #+C0"
|@8m\Z"0
（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） @qt:pKRP,8
ps_B>mh
三倍角公式 !$m/r^lW
^yu,[
yK
46H\>Vo
0g-V( R6[
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) -aZw}7KG,{
kWxyRwE
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 5%S|Mw*3
Lqx% XQ
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) AqUi9'&)
;Zy0 31M
三倍角公式推导 xJk aX^N@
R>gec=A
sin3a et.zYl;$
@0`RQG-z!
=sin(2a+a) /g*5%",YC
= qt2s t
=sin2acosa+cos2asina -^s,
2q,0
G0W fcTw
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina p65V n&
Yb$!\$.}7K
=3sina-4sin³a Z5%RB)s
dsFaf
cos3a Fo
baf?NG
z WVG
=cos(2a+a) yn9~6za+O
{.`$uI-um
=cos2acosa-sin2asina CPR:>.
fA
7-"m ")L(!
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa mU+ D<;F)
- c8" | .
=4cos³a-3cosa K> FsN\*9d
&Q}j#*B@
sin3a=3sina-4sin³a B{XP=nF
fl ))zBH
=4sina(3/4-sin²a) U$Vo6 ?Pv
J
eVF%
=4sina[(√3/2)²-sin²a] L!Sh h9
YBs]MZ(8|
=4sina(sin²60°-sin²a) +Z :
.
~%
*N0.W
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) xs}bn^&
__ltMT
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] gS-\{f2n
\l+N6 "3
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ^{ |
H/Pc
&S5>[AAf
cos3a=4cos³a-3cosa sH7i9:=
$
U P(rG53
=4cosa(cos²a-3/4) sjvX0}
3XVNmQ +~,
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] EpG;++`s1
I
Em/B7
=4cosa(cos²a-cos²30°) ? / ?J RU
\<,[ c:
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) LhD a
H2o
Q]EqN
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} A\25Ip_).
CP^>dB]Fc
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ,GpA3B^
FMP% l"
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] }1@ eQ/
_##t53Df?p
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] FkOl^[
HZH
}r
USg
0
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Eq/RF
&!jo;.@n
上述两式相比可得 jCUg{%?E
@a3OSr QO
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) h5RWw,i
G% 6h|h2*
半角公式 -'>:Yp
n"el fY
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 4 ACS4po
8P;6t_`Yer
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. u8:cZ ~+j8
k`\3f?tq>
和差化积 @.NaVZQ
xwtZHqa=Y
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] $ ;sy
Lx
b#@,lT{"
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 4g7owFg!
Pr
?;9S*
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] Y NOgb+@<
> *onJ%iC
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] k Y&fQ`f
#*(~*9>|
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) O9$@ kr%
5kb rbmxh
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) mG!6P.'u6/
9i` h'uU
积化和差 p lu|B>
"~cn= 3h
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] \|g='3' S
96 g,9
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 6#ZTvT)K,9
[BFOJ((GwR
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 8:T[Xx53
Wu %J7quJ
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] B q7C2
oGGP)0-(
诱导公式 ] n]KKC
aKk:b>x
sin(-α) = -sinα ^3O1O/MVq
$sM
>k
cos(-α) = cosα 5$[H0[dp
r,L
$Y !
sin(π/2-α) = cosα vi
?1EGD@kW
cos(π/2-α) = sinα a\CJ+46 &
d`Kg/uI&
sin(π/2+α) = cosα &u 9go: #
:OaIgKSg:
cos(π/2+α) = -sinα L;"Nt,q$s~
+/!uqG0 h
sin(π-α) = sinα uw ]H7*
8M|>@
cos(π-α) = -cosα ;!#<gF4tR
iZP\~l I4
sin(π+α) = -sinα ! ?]7`
n
S+ zNiG
cos(π+α) = -cosα 0$p&0yO|
j3#64>
tanA= sinA/cosA jR`UlQ7l6m
H*RR!|74
tan（π/2＋α）＝－cotα F";Q.
U%#97&[Z(D
tan（π/2－α）＝cotα Kpos,2
>BqG*3Vc&
tan（π－α）＝－tanα R?tK[EAP
Ctg9
gU$
tan（π＋α）＝tanα 1+??4bTI
9dTP6oFa
万能公式 i)izYqCNp
=A}DYea]3J
u56aY6 2!
?T.$om
其它公式 [X5C3pFF
X;Tnp&Pa
(sinα)^2+(cosα)^2=1 ;*PnxI6
%?|^Yy E&
1+(tanα)^2=(secα)^2 2-4v3omQ
*#8]U@M0
1+(cotα)^2=(cscα)^2 ;1Nygz 9m
@4b}A+
w
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 .<o$/:Gl
=_ JG: A@|
对于任意非直角三角形,总有 BLdpo JR^$
''#njZ
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC $_.S@p.uO
IVG},~}n;
证: G=A6 9,7U
F#7`@im
A+B=π-C EEb= y=|
/|Z2!/
tan(A+B)=tan(π-C) 4+9 @\6]F>
ZW^-x& "W
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 2*)gp-pQWc
Y<i[Z2Z>
整理可得 o?Orrv//
6eLp6fw p
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC vM+D:Uenoe
>eCyN3 ]o
得证 de5w0
dpU DB
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 {;
82F7@
6q :5 m
其他非重点三角函数 xI]xO
-n
1[cL;#
csc(a) = 1/sin(a) %@bgmbP
_U,&dCD%b
sec(a) = 1/cos(a) 0?/ S 7-
R?
+'Bx
b {/j$F P
5{ ZAW5k
双曲函数 Ya5o1* |
aw%b]p&Scb
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 uDJsMA(
d Y*a[[R
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 U#P xTk<
>5JqyYY
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) , 0aF7
mv4JJ
公式一： wMUD NG
p\_']pk
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： f,e < ^x}
w-\:
$
sin（2kπ＋α）= sinα kXK l V
ud{ ~9
cos（2kπ＋α）= cosα 6
hnJ/vO
L
]Mpy+#
tan（kπ＋α）= tanα 1 @qx}+?j
uO+xJikM/g
cot（kπ＋α）= cotα L %|B
4y)hN*_.w
公式二： IGT GMw
/<uQ7Cq S
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： BE%t*)\`
m'iU3W9
sin（π＋α）= -sinα A0nf[! %z
VI Jb n(
cos（π＋α）= -cosα (>TF/{F
^AO mO
tan（π＋α）= tanα \(4sAD"<c
<L ?$b
cot（π＋α）= cotα y< y3 (Q
{'x'r}~eL
公式三： 2
vSCY-
S'cfMUE;
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 4kC~A3HB%
9@/2,-T~
sin（-α）= -sinα >nk(zy{B
@OAZ.P4 I
cos（-α）= cosα muq7 >q^ q
]f~-Ow/
tan（-α）= -tanα @)<#fAVGiZ
C+O C9E
cot（-α）= -cotα b4D
SwzH
f^2-0j4aZ
公式四： u8j&oBq4fW
7p '%W(`#
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： +d{@boj
GES" (Z
sin（π-α）= sinα ]liF}huG
^, D?Us
cos（π-α）= -cosα q}WPGH
/ |pIA$X8
tan（π-α）= -tanα } y(shfJ
X\i?7G#oF
cot（π-α）= -cotα f<}@
{Vae
Jw1\dnma
公式五： hjDMLigq/
H,e Ak8N
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： NcXU*sw
yuHp).;4
sin（2π-α）= -sinα :10:VQ/*"
?Y|7l T
cos（2π-α）= cosα f9&VX~5ES7
{=~5~#S z
tan（2π-α）= -tanα Zd]E pkh
:bc'k:Yz
cot（2π-α）= -cotα E^~C N
p:9%
C" [
公式六： GOy2}G^7
*g?dVyK
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： U O8rU*k
ng,C7Vb
sin（π/2+α）= cosα `,c4l@Cc
cV>\6h
cos（π/2+α）= -sinα }+l^=aMma
N3tmvqH)eZ
tan（π/2+α）= -cotα @y tV zWI
fKZ E )-
cot（π/2+α）= -tanα tEbT9\L|
u|A.L
)k
sin（π/2-α）= cosα {]0Xz[F3E
;F 4*cfNw
cos（π/2-α）= sinα f6tNqvGQ
IQX`u)l?3
tan（π/2-α）= cotα 10W!B X1)v
AR 3VXlGz
cot（π/2-α）= tanα w B2lJ]q
{qJ: V
sin（3π/2+α）= -cosα I;N7 ]79
Eu9RSop!
cos（3π/2+α）= sinα T0 #bvT$
ro0@O g
tan（3π/2+α）= -cotα n*-J |S1P
6FGo[y0
cot（3π/2+α）= -tanα pNABOSyw,
z /*W7s
sin（3π/2-α）= -cosα 9 y>(_Qu*N
-
XMx\|o
cos（3π/2-α）= -sinα ?*M^G[[NB
',0 Wz0Bu
tan（3π/2-α）= cotα )E:9NyD
P ?c6|ORqe
cot（3π/2-α）= tanα
CkT8I3\
LAL<x;95
(以上k∈Z) OZ,{S m
ZncJNw z
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Dfq2uIO
ev
p20V
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = VL!+ZKaBvy
)k] iAe
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 9Y6bM ^2
nj R*X\r
√表示根号,包括{……}中的内容
迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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三角函数
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