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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 aT,w3jW  
;A&k^$;7:  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. aw+]07is*a  
v&*DM'  
　　1、三角函数本质： Wru5jFgyn  
]wC e0NS?  
　　三角函数的本质来源于定义 8rFdp+b  
k PO4v}%  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 r%C\6KfugQ  
K&4N&u&!  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 WT-w@qE  
<;@d-Nz  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： j=vv-   
)}j@ABl>   
　　推导： buMM&q_Ync  
Os.aL r'|  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ( MNM:4G  
yh4Ji+g  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) AuQ{df x  
bQ"G!(go  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Mki&jp  
oz9hEUHW  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 (IVxK  
']/hw[b  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） w]Z|m\ H  
h^z.fE  
　　[1] * 4$9L  
Zpp 9Ax^@  
　　两角和公式 `%NG8+r  
7*fO @T??  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB %F#`])4 !  
QZ .]m"W>,  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  7W/BB  
@P9Ig#`z  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 2|S5@81?s  
^Cgvr{)ZK  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB :*mi.}Y_  
t 5Tg-T6  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) NP[U,aQ"  
ltsM%4;v  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) & '<hhB/  
LNho!=Hy  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  qRsSsnUy  
7*)K3dyf  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ts$w[739  
>IMoSqbs  
倍角公式 C-ZN#9Q`$  
VZ +} ~  
　　Sin2A=2SinA•CosA 1]8"6/qS  
%Z~FT8#O  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 hj3@Mr4 R  
Q7jS n's  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） dRwH,V  
. +cx x)  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） WDf~.<.  
QcFI5 &  
三倍角公式 *-$ 8  
}]8{!K  
　　 TvZrVyQ@  
n5|]A   
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) IawRdCLt  
G(r+8  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Hm#Ha`OZo  
8H"}jo=Rn  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Vmi C`  
E{YicJ  
三倍角公式推导 \D]c/_  
[f tM[UVU  
　　sin3a Gn FD2Cv  
r>9%fr  
　　=sin(2a+a) hU\~M%  
IV8M16-  
　　=sin2acosa+cos2asina |U Z'j="  
>d 9 QN  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina (4eh\e  
hDm',]1  
　　=3sina-4sin³a H.4f6> [  
S748$QZlr  
　　cos3a K~D&$=Fr  
3!12b #|QY  
　　=cos(2a+a) 7aN&pA  
y##y,GNR ^  
　　=cos2acosa-sin2asina >GkgYUL  
+buPqH5"B  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa b!ca%W =.C  
'LvC; /9  
　　=4cos³a-3cosa Xx=WKqP g5  
6zmr;y)  
　　sin3a=3sina-4sin³a UoK58"jjG  
;\=X7x7  
　　=4sina(3/4-sin²a) EbUfi   
v7Y16w :u  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] _<!s;c  
Kb`-+  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ,i_+yy>  
W3p__{ p  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) b(0Uz4(:D  
p5y {];BC  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] \& :z5cVe  
oH]<^y!'H  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) z(Lr-/G  
7n_R'CF  
　　cos3a=4cos³a-3cosa <a)sc>ti  
%+Y_[i  
　　=4cosa(cos²a-3/4) |Y;Px p  
cr@fuUn%  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] d7*nb5x  
35I,}ChF  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) h {'jt2  
P Nx  N$  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) L!vH7{  
s5OA{}Go}  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ~.|n!Y.Un  
eXuWlx_  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) $< \p\>g  
3@[U $S_  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] mS8_>Ih3wo  
mtZ*QEf"}  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] )E{m| _Et  
-L@) +  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) &!$s?.}w"  
r$^Vv=+HW  
　　上述两式相比可得  f:j >gr  
:k\y_$<,  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) r(H jb  
eKLmUj 3  
半角公式 N:l8O]#'  
/lC}#:8R&  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); i X:!=  
",K$Ev  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 8L%.=JC8  
+]jM{63=2  
和差化积 RL87B,oM  
!7E*f=i  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1\o5F8  
uhj@Ly<  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ~]jJA*:f.  
OB^V~a\K?Z  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] `/TRghv   
+i$*lPC@i  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ,$Rv6  
 +zBA{Z  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Uewl Sm1  
>\%c0Aw`A]  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) uU|\3cr_  
4d3hD@JU  
积化和差 DG]YuKtb  
U"+Z~%f<  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] !AP'@uxt  
1WX*.}p"  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] z=(Jevl  
;$("w!4?  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] G_61 7wSB  
%yHn4 Ep8  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 4H6 fhi  
/F8alUz  
诱导公式 cOL+k(*bh  
u +( 2B+  
　　sin(-α) = -sinα =GdNYck  
(8 ^HsaI@  
　　cos(-α) = cosα *SZ 1[5]w  
*E%} IOz4  
　　sin(π/2-α) = cosα Szku;BOb  
h3=yoC  
　　cos(π/2-α) = sinα 5cm"' /  
}'`$c2d=  
　　sin(π/2+α) = cosα N^YlCYJ,*  
aSM1#KxZ  
　　cos(π/2+α) = -sinα  u;p   
@!-zg8jO]z  
　　sin(π-α) = sinα e]H<p4~  
U!Xbb[  
　　cos(π-α) = -cosα \JV0?Wg^  
,8<]D)H\  
　　sin(π+α) = -sinα eY>gpoY  
W^8"bwi_  
　　cos(π+α) = -cosα /Td$X5+s  
#g}Q>  
　　tanA= sinA/cosA 8l3oWA  
# .5Jw;  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 4`;f1  
j)\g$`h  
　　tan（π/2－α）＝cotα !Kfvq4K-s  
z{X] <>5j  
　　tan（π－α）＝－tanα 9: 6K  
tCYYpe>B  
　　tan（π＋α）＝tanα te[3^z1M=;  
o:tY,JN  
万能公式 hS_u^7J^C  
rn " [ub  
　　 z"-RAA`=  
Sk6S{jH  
其它公式 jCz+=2#;[  
`9 v~;+=  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 sPD^uY  
keZSq9],.  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 oe}!}i0j  
K0QiCZD0Wd  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 vT$ oCF  
`051Qso%g  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 m[]1Fs5 Y,  
YC)(|s T  
　　对于任意非直角三角形,总有 sWWz"nL!+  
'){iv1^   
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC #9Nm9DT  
c|Qk )iD  
　　证: r0 "Q4rk6  
* ;O|:$&  
　　A+B=π-C bkhmb2@)  
:ai_t?O  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Og&*.D#R  
4(eYNZa:\c  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 21v+` G  
s9zi_,7f  
　　整理可得 Bp`HAe]LP  
e , ZT}o  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC dcEoV  
oNltPyTw,  
　　得证 '?`)G_.s  
`pLrSGG  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ;^{+"*-xo  
Ma#:Wh7   
其他非重点三角函数 WcFS~-  
h-!k X1~+  
　　csc(a) = 1/sin(a) tF</_{  
"!.;$0 Iv  
　　sec(a) = 1/cos(a) PO ,t9QH  
#xToL A1z  
　　 Y|#1E  
dD/( Np7  
双曲函数 1/;7z  
cs%H}sGe  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 /x\47?B  
G^n<0.<  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 EJEy3ia  
 =0u)Z([  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) wjW4:%5Pt3  
iOj-{)  
　　公式一： C`x!0  
90a-+b#A=C  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： O)m6W+,!{f  
,dc%n  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ?>At^\"X9  
 ~.rf,'  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 0bJx#Vc  
Uu9zGm/d  
　　tan（kπ＋α）= tanα =03Vo5u_  
.. _90#  
　　cot（kπ＋α）= cotα |E/KaS$|Da  
u#>n,J(  
　　公式二： `y lft+f(P  
H=?|LMUs  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： UDDLf 'gvM  
+DvRcS  
　　sin（π＋α）= -sinα u"']OA 6  
f<6_j&2?  
　　cos（π＋α）= -cosα qP+gIs  
dZa8on|  
　　tan（π＋α）= tanα -x^En+9:?M  
\[(l :`  
　　cot（π＋α）= cotα =O9X#:u  
,t}v<N"  
　　公式三： }.C#H1Gbj  
7HU#Fvq65  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： F2MC\0<O  
0< t? q1  
　　sin（-α）= -sinα cOnuQYQyL  
8%1Bx?K l  
　　cos（-α）= cosα ^ o<h;D`SN  
x##sym3  
　　tan（-α）= -tanα A@u@  
9 ]jKw  
　　cot（-α）= -cotα j> iHb -  
eP26)XyN6  
　　公式四： 87HSN=q  
id8 \?h  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： gShv5EjF0  
K~o#Ys\:  
　　sin（π-α）= sinα &v)a)?%KM  
]zC1n6^  
　　cos（π-α）= -cosα d!e 3 M9Ih  
H:T"L(  
　　tan（π-α）= -tanα >)c,} .6j  
" >,"t9  
　　cot（π-α）= -cotα &}= IIMt  
SrMz2lB]  
　　公式五： W^ m/AR=  
|7TBZu@W  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： oX4e*{98)  
nkjsY_Q  
　　sin（2π-α）= -sinα y-VIf\ 2  
KlXt;F  
　　cos（2π-α）= cosα Q 1Nrfl)  
^hMi4k .`  
　　tan（2π-α）= -tanα m:m&L4  
!.q_qik0  
　　cot（2π-α）= -cotα Z5eU|^Z  
nDe_ku1  
　　公式六： [* e|b;b  
F2$rx(R@  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 8(i%[`a =  
=3eR+Uie5  
　　sin（π/2+α）= cosα #}jnUu_X  
z}/?Fix2S  
　　cos（π/2+α）= -sinα 9>FH'yY(4  
8\nyvxP  
　　tan（π/2+α）= -cotα i@Wb~  
%#.WV/  
　　cot（π/2+α）= -tanα $iH*/wTvn  
d 3)sSJ %  
　　sin（π/2-α）= cosα h9]wf,ZY  
]lR _/P|  
　　cos（π/2-α）= sinα 8 QZ  
1L8W(  
　　tan（π/2-α）= cotα s/PqQ_@z  
HsiOX%}  
　　cot（π/2-α）= tanα 9wGN6  
reU-dCUu  
　　sin（3π/2+α）= -cosα @Ir.Oj  
@^Kp)Cc  
　　cos（3π/2+α）= sinα b/1eP&  
?Awxwb  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 2I9~\+nf|R  
I0 ^j,p  
　　cot（3π/2+α）= -tanα rd7Uo-8*0  
 \r:\dX  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 2v-QD %=  
,.w]g \:  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Bw/DyOl`  
HZ MuL-  
　　tan（3π/2-α）= cotα |6-f%)   
_SbY_XvI?  
　　cot（3π/2-α）= tanα Dh4/\rZr  
)waI 's0A  
　　(以上k∈Z) ' WA!"e  
pr6 F8)  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 cG7\ :p  
, ;Z ,>p  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = :@i1  
S]HE+**  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Kc-n- $(/#  
B&7%LvTMQ  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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